Question

设X为随机变量，从棱长为a的正方体,的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X=0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积．

（1）求概率P(X=0)；

（2）求X的分布列，并求其数学期望E(X)．

 

Answer 1

（1）；（2）分布列详见解析，．

【解析】

试题分析：（1）当X=0时，则从正方体的八个顶点所取的四个顶点共面，此时有12种（六个对角面和六个表面），而基本事件总数有，代入古典概型的概率计算公式求解；（2）考虑X的不同取值，并计算取各个值时的概率，写出分布列并求期望，其中当所取四点不共面时，要注意体积的变化，按照顶点位置分为两种情况．

试题解析：（1）从正方体的八个顶点中任取四个点,共有种不同取法．

其中共面的情况共有12种(6个侧面,6个对角面)．

则P(X=0)=． 4分

（2）任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况:

①四点在相对面且异面的对角线上,体积为

这样的取法共有2种． 6分

②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为．

这样的取法共有种 8分

X的可能取值是0，， 9分

X的分布列为

X	0

 

数学期望E(X)=． 12分

考点：1、古典概型；2、空间几何体的结构和几何体体积．