Question

14．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=log₂（x+1）．
（1）求当x＜0时，函数的解析式；
（2）用分段函数形式写出函数f（x）在R上的解析式，并在坐标系中画出f（x）的草图．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，结合函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=log₂（x+1），可得答案；
（2）根据f（0）=0及（1）中结论，可得分段函数形式的函数f（x）的解析式，进而得到函数的图象．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
此时f（-x）=log₂（-x+1）．
又由函数f（x）是R上的奇函数，
故f（x）=-f（-x）=-log₂（-x+1）．
（2）又∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（0）=0，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{log}_{2}（-x+1），x＜0\\ 0，x=0\\{log}_{2}（x+1），x＞0\end{array}\right.$，
函数的图象如下图所示：

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数解析式的求法，函数的图象，难度中档．