【题目】已知,
且
,
且
,函数
.
(1)设,
,若
是奇函数,求
的值;
(2)设,
,判断函数
在
上的单调性并加以证明;
(3)设,
,
,函数
的图象是否关于某垂直于
轴的直线对称?如果是,求出该对称轴,如果不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)对称轴为
,理由见解析.
【解析】
(1)根据已知条件,将代入函数
的解析式,得出
,利用奇函数的定义
,可求出实数
的值;
(2)判断出函数和函数
的单调性,然后利用函数单调性的运算法则,可判断出函数
的单调性,然后利用函数单调性的定义加以证明;
(3)根据函数图象的对称轴为直线
,得出
对任意的实数
恒成立,即可求出实数
的值.
(1)由已知,,
,由于函数
为奇函数,
则对任意的
恒成立,
,因此,
;
(2)当时,函数
为增函数,函数
为减函数,
又,所以,函数
在
上是增函数,
下面利用定义来证明出函数的单调性.
任取,则
,
,
,即
,又
,
,
,
,所以,
,即
.
因此,函数在
上是增函数;
(3),若函数
的图象是轴对称图形,且对称轴为直线
,
则,
,
即,即
,
即对任意的
恒成立,
,即
,
因此,.
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【题目】在极坐标系中,已知曲线的方程为
,曲线
的方程为
.以极点
为原点,极轴为
轴正半轴建立直角坐标系
.
(1)求曲线,
的直角坐标方程;
(2)若曲线与
轴相交于点
,与曲线
相交于
,
两点,求
的值.
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【题目】已知数列,
为其前n项的和,满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为
,数列
的前n项和为
,求证:当
时
;
(3)若函数的定义域为R,并且
,求证
.
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【题目】某中学调查了某班全部名同学参加学校社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社 | 未参加书法社 | |
参加辩论社 | ||
未参加辩论社 |
(1)从该班随机选名同学,求该同学至少参加一个社团的概率;
(2)在既参加书法社又参加辩论社的名同学中,有
名男同学
,
名女同学
.现从这
名同学中男女姓各随机选
人(每人被选到的可能性相同).
(i)列举出所有可能结果;
(ii)设为事件“
被选中且
未被选中”,求事件
发生的概率.
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【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
|
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【题目】如图,已知四边形的直角梯形,
,
,
,
为线段
的中点,
平面
,
,
为线段
上一点(
不与端点重合).
(Ⅰ)若,
(i)求证:平面
;
(ii)求直线与平面
所成的角的大小;
(Ⅱ)否存在实数满足
,使得平面
与平面
所成的锐角为
,若存在,确定
的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图已知椭圆,
是长轴的一个端点,弦
过椭圆的中心
,且
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)设为椭圆上异于
且不重合的两点,且
的平分线总是垂直于
轴,是否存在实数
,使得
,若存在,请求出
的最大值,若不存在,请说明理由.
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【题目】A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A班 | 6 6.5 7 7.5 8 |
B班 | 6 7 8 9 10 11 12 |
C班 | 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 |
(Ⅰ)试估计C班的学生人数;
(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(Ⅲ)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为,表格中数据的平均数记为
,试判断
和
的大小.(结论不要求证明)
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