Question

已知四个数成等差数列，顺次加上1，1，3，9后成等比数列，则这四个数的和为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：设四个数为a，a+d，a+2d，a+3d，由题意知a+1，a+1+d，a+3+2d，a+9+3d成等比数列，令t=a+1，则t，t+d，t+2+2d，t+8+3d成等比数列，则

t+d

t

=

t+2+2d

t+d

=

t+8+3d

t+2+2d

=

3t+10+6d

3t+2+3d

，由此能求出四个数的和．

解答： 解：设四个数为a，a+d，a+2d，a+3d，
由题意知a+1，a+1+d，a+3+2d，a+9+3d成等比数列，
令t=a+1，则t，t+d，t+2+2d，t+8+3d成等比数列，
∴

t+d

t

=

t+2+2d

t+d

=

t+8+3d

t+2+2d

=

3t+10+6d

3t+2+3d

，
整理，得3t²+10t+6td=3t²+2t+3td+3td+2d+3d²，
解得2t=d²，
∴2d+3d²=4d²，解得d=0或d=2，
d=0，t=0，不合题意，舍去，
∴d=2，t=2，a=t-1=1，
∴四个数为1，3，5，7，
∴四个数的和=4a+6d=16．
故答案为：16．

点评：本题考查数列中四项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．