Question

2．设定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，则f（2015）的值为（　　）

• A． -1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 f（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，令x=-1得到，f（0）=1；同理可得：令x=0得到f（1）=$\frac{1}{2}$；令x=1，f（2）=1，…，利用周期性即可得出．

解答 解：∵f（x+1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，
令x=-1得到，f（0）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=1；
令x=0得到f（1）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{1-{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
令x=1，得到f（2）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，…，
∴f（2015）=f（1）=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了抽象函数求值、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．