Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足2S_n+a_n=1，等差数列$\{\frac{1}{b_n}\}$中，${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求证：${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用2S_n+a_n=1，以及2S_n-1+a_n-1=1，提出${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$，判断数列{a_n}为等比数列，$\{\frac{1}{b_n}\}$为等差数列，求出公差为d，即可求出通项公式．
（2）记{C_n}前n项和为T_n，利用错位相减法求出和，然后证明即可．

解答 解：（1）∵2S_n+a_n=1，①，∴n≥2，2S_n-1+a_n-1=1，②
∴①-②得：2a_n+a_n-a_n-1=0，∴${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$，n=1时，2a₁+a₁=1，∴${a_1}=\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}为以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$．（3分）
又$\{\frac{1}{b_n}\}$为等差数列，设其公差为d，则$d=\frac{1}{b_2}-\frac{1}{b_1}=1$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_1}+（n-1）d=n$，∴${b_n}=\frac{1}{n}$．（6分）
（2）${C_n}=\frac{n}{3^n}$，记{C_n}前n项和为T_n，
则${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n}{3^n}$，①
$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$（9分）
=$\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2×{3^n}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2×{3^{n+1}}}}$
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4×{3^n}}}$，（11分）
∵n∈N₊，∴$\frac{2n+3}{{4×{3^n}}}＞0$，∴${T_n}＜\frac{3}{4}$．（12分）

点评 本题考查数列递推关系式的应用，通项公式的求法，错位相减法求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．