Question

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，学校规定上学所需时间不小于1小时的学生可以申请在学校住宿．
（Ⅰ）求频率分布直方图中x的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（Ⅲ）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，从可以住宿的学生当中随机抽取3人，记ξ为其中上学所需时间不低于80分钟的人数，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由直方图能求出x．
（Ⅱ）设中位数为y，则20×0.0125+（y-20）×0.025=0.5，由此能求出中位数．
（Ⅲ）依题意得ξ～B（3，

1

2

），ξ的所有可能取值为0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及其数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由直方图得：
20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×20=1．
解得x=0.0125．…（3分）
（Ⅱ）设中位数为y，
则20×0.0125+（y-20）×0.025=0.5，
解得y=30．
∴中位数估计为30分钟..…（6分）
（Ⅲ）依题意得ξ～B（3，

1

2

），ξ的所有可能取值为0，1，2，3，．…（7分）
P（ξ=0）=(

1

2

)3=

1

8

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)3=

3

8

，
P（ξ=3）=（

1

2

）³=

1

8

．…（11分）
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

∴ξ的数学期望是Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．…（13分）

点评：本题考相频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．