Question

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，则abc的取值范围为（　　）

• A、（0，4）
• B、（0，1）
• C、（-1，+∞）
• D、（4，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：导数法可得函数的单调性和极值，结合图象可得a＜1＜b＜3＜c，进而可得f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0，解不等式组可得．

解答： 解：求导函数可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f′（x）＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3）
∴f（x）极大值为f（1）=1-6+9-abc=4-abc，极小值为f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：a＜1＜b＜3＜c
∵函数有零点x=b在1～3之间，∴f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
解得0＜abc＜4，即abc的取值范围为（0，4）
故选：A

点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及导数和极值以及属性结合的应用，属中档题．