Question

设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1．
（Ⅰ）证明：a、b、c成等比数列；
（Ⅱ）若a+c=b，cosB=

3

4

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,等比关系的确定

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，根据正弦定理化简得到关系式，即可得证；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把cosB的值代入并利用完全平方公式化简，整理求出ac的值，由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式计算即可得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得1-2sin²B+cosB+cos（A-C）=1，
cos（A-C）-cos（A+C）=2sin²B，即2sinAsinC=2sin²B，
由正弦定理知b²=ac，
∴a、b、c成等比数列；
（Ⅱ）由余弦定理知

3

4

=

a2+c2-b2

2ac

=

(a+c)2-3ac

2ac

=

36-3ac

2ac

，即ac=8，
∵sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×8×

7

4

=

7

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．