Question

（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4， 是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．
（I）当时，求证：；
（II）设二面角的大小为，求的最小值．

Answer 1

解法一：过E作于N，连结EF．

（I）如图1，连结NF、，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面．
又底面侧面=AC，且底面ABC，所以侧面，
∴NF为EF在侧面内的射影，
在中，=1，则由，得NF//，
又故，由三垂线定理知
（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME，由（I）知侧面，
根据三垂线定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即．
设，在中，
在故
又，故当即当时，达到最小值，
，此时F与重合．
解法二：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

于是
故
（II）设平面AEF的一个法向量为，
则由（I）得，
于是由可得

取
又由直三棱柱的性质可取侧面
的一个法向量为，
于是由为锐角可得，∴，
由，得，即
故当，即点F与点重合时，取得最小值

略