Question

（本小题共13分） 如图，在三棱锥中，底面ABC
，点、分别在棱上，且 
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的大小的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点，使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又，∴AC⊥BC.
又   ∴BC⊥平面PAC.————3分
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，  ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，————5分
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小的余弦值.————8分
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.————13分
【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， ————1分
设，由已知可得 .
（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. ————3分 
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.   ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.————7分
∴与平面所成的角的大小的余弦值.————8分

略