【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A′B′C′中,AA′=2AC=2BC,E为AA′的中点,C′E⊥BE.
(1)求证:C′E⊥平面BCE;
(2)求直线AB′与平面BEC′所成角的大小.
【答案】
(1)证明:在矩形ACC′A′中,∵E是AA′的中点,AA′=2AC,
∴EA=AC=EA′=A′C′,
∴∠A′EC′=∠AEC=45°,
∴∠CEC′=90°.即C′E⊥CE.
又C′E⊥BE,CE平面BCE,BE平面BCE,BE∩CE=E,
∴C′E⊥平面BCE
(2)证明:∵C′E⊥平面BCE,BC平面BCE,
∴C′E⊥BC,
又CC′⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴CC′⊥BC,又C′E,CC′平面ACC′A′,C′E∩CC′=C′,
∴BC⊥平面ACC′A′,又AC平面ACC′A′,
∴BC⊥AC.
以C为原点,以CA,CB,CC′为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:
设AC=BC=1,则CC′=2.
∴A(1,0,0,),B(0,1,0),B′(0,1,2),E(1,0,1),C′(0,0,2).
∴ =(﹣1,1,2),
=(1,﹣1,1),
=(0,﹣1,2).
设平面BC′E的法向量为 =(x,y,z).则
.
∴ ,令z=1,得
=(1,2,1).
∴ =3,|
|=
,|
|=
,
∴cos< >=
=
.
∴直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为 ,
∴直线AB′与平面BEC′所成角为30°.
【解析】(1)由△ACE和△A′C′E是等腰直角三角形得∠A′EC′=∠AEC=45°,于是C′E⊥CE,结合C′E⊥BE得出C′E⊥平面BCE;(2)证明BC⊥平面ACC′A′得出AC⊥BC,以C为原点建立空间直角坐标系,设AC=1,求出 和平面BC′E的法向量
,则直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为|cos<
>|.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
即可以解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=log (
)满足f(﹣2)=1,其中a为实常数.
(1)求a的值,并判定函数f(x)的奇偶性;
(2)若不等式f(x)>( )x+t在x∈[2,3]上恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】(本题满分12分)若点,在
中按均匀分布出现.
(1)点横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐标,则点
落在上述区域的概率?
(2)试求方程有两个实数根的概率.
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【题目】若函数f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度,某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员,得到情况如表:
(1)完成表格,并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”,并说明理由;
(2)现把以上频率当作概率,若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问,求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率.
(3)已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联,该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈,设邀请的2人中来自省女联的人数为X,求X的公布列及数学期望E(X).
男性公务员 | 女性公务员 | 总计 | |
有意愿生二胎 | 30 | 15 | |
无意愿生二胎 | 20 | 25 | |
总计 |
附:
P(k2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知曲线C的参数方程为 (α为参数),以直角坐标系原点为极点,Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程
(2)若直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1,求直线l被曲线C截得的弦长.
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【题目】奥地利遗传学家孟德尔1856年用豌豆作实验时,他选择了两种性状不同的豌豆,一种是子叶颜色为黄色,种子性状为圆形,茎的高度为长茎,另一种是子叶颜色为绿色,种子性状为皱皮,茎的高度为短茎。我们把纯黄色的豌豆种子的两个特征记作,把纯绿色的豌豆的种子的两个特征记作
,实验杂交第一代收获的豌豆记作
,第二代收获的豌豆出现了三种特征分别为
,
,
,请问,孟德尔豌豆实验第二代收获的有特征
的豌豆数量占总收成的( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知圆:
过圆上任意一点
向
轴引垂线垂足为
(点
、
可重合),点
为
的中点.
(1)求的轨迹方程;
(2)若点的轨迹方程为曲线
,不过原点
的直线
与曲线
交于
、
两点,满足直线
,
,
的斜率依次成等比数列,求
面积的取值范围.
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