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【题目】如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.

(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDEF;

(Ⅱ)求证:FC∥平面EAD;

(Ⅲ)求二面角A﹣FC﹣B的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)

【解析】试题分析:(Ⅰ)设相交于点,连接,因为四边形为菱形,所以,且中点,由,知,由此能够证明平面;(Ⅱ)因为四边形均为菱形,所以,平面平面,由此能够证明平面;(Ⅲ)因为四边形为菱形,且,所以为等边三角形,因为中点,所以,故平面,由两两垂直,建立空间直角坐标系,设,因为四边形为菱形, ,则,所以 ,求得平面的法向量为,平面的法向量为,由此能求出二面角的余弦值.

试题解析:(Ⅰ)证明:设AC与BD相交于点O,

连接FO.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,且O为AC中点.

又 FA=FC,所以 AC⊥FO.

因为 FO∩BD=O,

所以 AC⊥平面BDEF.

(Ⅱ)证明:因为四边形ABCD与BDEF均为菱形,

所以AD∥BC,DE∥BF,

所以 平面FBC∥平面EAD.

又FC平面FBC,所以FC∥平面EAD.

(Ⅲ)解:因为四边形BDEF为菱形,且∠DBF=60°,

所以△DBF为等边三角形.

因为O为BD中点,所以FO⊥BD,故FO⊥平面ABCD.

由OA,OB,OF两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz. …(9分)

设AB=2.因为四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,

则BD=2,所以OB=1,.所以

所以

设平面BFC的法向量为=(x,y,z),

则有

取x=1,得

∵平面AFC的法向量为=(0,1,0).

由二面角A﹣FC﹣B是锐角,得|cos<>|==

所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为

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微信控

非微信控

合计

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合计

56

44

100

(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关?

(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5 人并从选出的5 人中再随机抽取3 人赠送200 元的护肤品套装,记这3 人中“微信控”的人数为X,试求X 的分布列与数学期望.

参考公式:,其中n=a+b+c+d.

P(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.323

3.841

5.024

6.635

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对服务好评

对服务不满意

合计

对商品好评

对商品不满意

合计

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(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量,求的数学期望.

参考数据:

,其中

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