Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求$\sqrt{3}$sinA+sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值及取得最大值时角A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件求得B的值，利用余弦定理求得ac的值，从而求得△ABC的面积$\frac{1}{2}•ac•sinB$的值．
（Ⅱ）利用三角恒等变换，化简$\sqrt{3}$sinA+sin（C-$\frac{π}{6}$）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得$\sqrt{3}$sinA+sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值及取得最大值时角A的大小．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，因为A，B，C成等差数列，
所以B=$\frac{π}{3}$．
由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，求得ac=40．
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=10\sqrt{3}$．
（Ⅱ）$\sqrt{3}sinA+sin（{C-\frac{π}{6}}）$=$\sqrt{3}sinA+sin（\frac{π}{2}-A）$=$\sqrt{3}sinA+cosA=2sin（{A+\frac{π}{6}}）$．
又A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴$A+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
从而当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$时，2sin（A+$\frac{π}{6}$）取最大值2．
综上所述，$\sqrt{3}sinA+sin（C-\frac{π}{6}）$的最大值为2，此时A=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．