Question

（Ⅰ）求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2

7

的圆的方程．
（Ⅱ）设定点M（-3，4），动点N在圆x²+y²=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

Answer 1

（Ⅰ）设圆心为（a，3a），
由圆与x轴相切可得圆的半径r=3|a|．
∵圆心到直线的距离d=

|a-3a|

2

=

2

a，圆被直线x-y=0截得的弦长为2

7

，
∴根据垂径定理，得r²=d²+（

7

）²，
即9a²=2a²+7，解得a=±1．
由此可得所求圆的圆心为（1，3）或（-1，-3），半径r=3．
∴圆C的方程为 （x+1）²+（y+3）²=9或 （x-1）²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）设P（x，y），圆上的动点N（x₀，y₀），则
线段OP的中点坐标为（

x

2

，

y

2

），线段MN的中点坐标为（

x0-3

2

，

y0+4

2

），
又∵平行四边形的对角线互相平分，
∴

x 2 = x0-3 2 y 2 = y0+4 2

，可得x₀=x+3且y₀=y-4，
∴N坐标为（x+3，y-4），
N点坐标应满足圆的方程，代入化简可得（x+3）²+（y-4）²=4，
直线OM与轨迹相交于两点（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

），不符合题意，舍去
因此，所求点P的轨迹方程为（x+3）²+（y-4）²=4（点（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）．