Question

9．已知a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展开式的常数项为240，则$\int_{-a}^a{（{x^2}+xcosx+\sqrt{4-{x^2}}）dx}$=2π+$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 运用二项式展开式的通项公式，可得常数项，解方程可得a=2，再由奇函数的积分为0，以及积分的几何意义可得所求值．

解答 解：a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展开式的常数项为240，
可得T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^6-r（-x）^r=${C}_{6}^{r}$a^6-r（-1）^rx${\;}^{\frac{3r-6}{2}}$，
由$\frac{3r-6}{2}$=0，可得r=2，
即有${C}_{6}^{2}$a⁴（-1）²=240，
解得a=2（-2舍去）．
则$\int_{-a}^a{（{x^2}+xcosx+\sqrt{4-{x^2}}）dx}$=${∫}_{-2}^{2}$（x²+xcosx+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx，
由y=xcosx为奇函数，且奇函数的积分为0，即=${∫}_{-2}^{2}$xcosxdx=0，
由${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以O为圆心，2为半径的上半圆的面积，可得
${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{2}$×4π=2π，
又${∫}_{-2}^{2}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-2}^{2}$=$\frac{8}{3}$+$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．
则${∫}_{-2}^{2}$（x²+xcosx+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=2π+$\frac{16}{3}$．
故答案为：2π+$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查二项式定理的运用：求特定项，考查定积分的计算，注意运用定积分的性质和几何意义，考查运算能力，属于中档题．