Question

8．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：$ρ=\frac{4cosθ}{{1-{{cos}^2}θ}}$，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M（2，2），求α．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入即可求得直角坐标系方程；
（2）方法一：将直线l的参数方程，代入抛物线方程，利用中点坐标公式，求得tanα，由0≤α＜π，即可求得α的值；
方法二：利用点差法，则求得直线AB的斜率k，则0≤α＜π，即可求得α的值；
方法三：利用中点坐标公式，求得A和B点坐标，即可求得直线AB的斜率，求得求得α的值；
方法四：将直线方程代入抛物线方程，${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}=4$则 k=tanα=1，求得求得α的值；

解答 解：（1）曲线$C：ρ=\frac{4cosθ}{{1-{{cos}^2}θ}}$，即ρsin²θ=4cosθ，
于是有ρ²sin²θ=4ρcosθ，
化为直角坐标方程为：y²=4x
（2）方法一：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=x+2tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$，则（2+tsinα）2=4（2+tcosα），
即t²sin²α+（4sinα-4cosα）t-4=0
由AB的中点为M（2，2）得t₁+t₂=0，有4sinα-4cosα=0，所以k=tanα=1
由0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{4}$；
方法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{{\begin{array}{l}{y_1^2=4{x_1}}\\{y_2^2=4{x_2}}\end{array}}\right.⇒（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）=4（{x_1}-{x_2}）$，
∵y₁+y₂=4，
∴${k_l}=tanα=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=1$，
由0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{4}$．
方法三：设$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}），（{y_1}＜{y_2}）$，则由M（2，2）是AB的中点得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y_1^2}{4}+\frac{y_2^2}{4}=4}\\{{y_1}+{y_2}=4}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4}\\{{y_1}{y_2}=0}\end{array}}\right.$，
∵y₁＜y₂，∴y₁=0，y₂=4，知A（0，0），B（4，4），
∴k_l=tanα=1，由0≤α＜π得$α=\frac{π}{4}$．
方法四：依题意设直线l：y-2=k（x-2），与y²=4x联立得$y-2=k（\frac{y^2}{4}-2）$，
即ky²-4y-8k+8=0
由${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}=4$得 k=tanα=1，
由0≤α＜π，
∴$α=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查直线的参数方程，抛物线的极坐标方程，考查直线的斜率公式，直线与抛物线方程的关系，考查转化思想，属于中档题．