【题目】已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
【答案】(1) y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0;(2)
【解析】
(1)首先利用待定系数法设出切线的方程,然后利用圆心到切线的距离等于半径求出切线方程;(2)PM的距离用P到圆心C的距离与半径来表示,建立PO与与PC的关系,求出P点的轨迹为一条直线,然后将求PM的最小值问题转化为原点到直线的距离问题,
解:(1)将圆C整理得(x+1)2+(y-2)2=2.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,
∴圆心到切线的距离为,即k2-4k-2=0,解得k=2±
.
∴y=(2±)x;
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0,
∴圆心到切线的距离为,即|a-1|=2,解得a=3或-1.
∴x+y+1=0或x+y-3=0.综上所述,所求切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)∵|PO|=|PM|,
∴=(x1+1)2+(y1-2)2-2,即2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.
当|PM|取最小值时,即|OP|取得最小值,此时直线OP⊥l,
∴直线OP的方程为:2x+y=0,
解得方程组得
,
∴P点坐标为.
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【题目】已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求λ的值.
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【题目】某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图,则下面结论中错误的一个是( )
A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24
C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21
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【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为ρ(1-cos2θ)=8cosθ,直线ρcosθ=1与曲线C相交于M,N两点,直线l过定点P(2,0)且倾斜角为α,l交曲线C于A,B两点.
(1)把曲线C化成直角坐标方程,并求|MN|的值;
(2)若|PA|,|MN|,|PB|成等比数列,求直线l的倾斜角α.
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
、
,左右顶点分别是
、
,长轴长为
,
是以原点为圆心,
为半径的圆的任一条直径,四边形
的面积最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)不经过原点的直线:
与椭圆交于
、
两点,
①若直线与
的斜率分别为
,
,且
,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标;
②若直线的斜率是直线
、
斜率的等比中项,求
面积的取值范围.
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【题目】设常数,已知复数
,
和
,其中
均为实数,
为虚数单位,且对于任意复数
,有
,将
作为点
的坐标,
作为点
的坐标,通过关系式
,可以看作是坐标平面上点的一个变换,它将平面上的点
变到这个平面上的点
.
(1)分别写出和
用
表示的关系式;
(2)设,当点
在圆
上移动时,求证:点
经该变换后得到的点
落在一个圆上,并求出该圆的方程;
(3)求证:对于任意的常数,总存在曲线
,使得当点
在
上移动时,点
经这个变换后得到的点
的轨迹是二次函数
的图像,并写出对于正常数
,满足条件的曲线
的方程.
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【题目】已知曲线上动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
,若过
的动直线
与曲线
相交于
两点
(1)说明曲线的形状,并写出其标准方程;
(2)是否存在与点不同的定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由
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【题目】如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是( )
A. 这15天日平均温度的极差为
B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日,8日,9日三天
C. 由折线图能预测16日温度要低于
D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于
的天数
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【题目】已知两点分别在
轴和
轴上运动,且
,若动点
满足,动点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)过点作动直线
的平行线交轨迹
于
两点,则
是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
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