Question

【题目】已知椭圆：的左右焦点分别为、，左右顶点分别是、，长轴长为，是以原点为圆心，为半径的圆的任一条直径，四边形的面积最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过原点的直线：与椭圆交于、两点，

①若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

②若直线的斜率是直线、斜率的等比中项，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题可得，再由四边形的面积最大值为列方程即可求得，问题得解。

（2）①设，，联立直线与椭圆方程可得：，即可表示出，，再整理，可得：，问题得解。

②由直线的斜率是直线、斜率的等比中项即可求得，再由弦长公式求得，求出点到直线的距离，即可表示，再利用基本不等式即可得解。

（1）由题可得：，即：，

当与轴重合时，四边形的面积最大值

由已知可得：，解得：

所以椭圆方程为：.

（2）①证明：设，，

将代入椭圆方程得：，

，

∴，，

∵，

∴，

解得：，

∴直线的方程为，即，

故直线恒过定点；

②由直线的斜率是直线，斜率的等比中项，

即有，即，

∴，整理得：，解得，

代入有，

，

点到直线的距离，

∴ ，

（当且仅当时，等号成立）

所以面积的取值范围是：.