Question

已知向量

a

=（sinx，

3

cosx），

b

=（cosx，cosx），若函数f（x）=

a

•

b

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）得最小值．
（2）求函数f（x）的递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量的数量积与三角恒等变换化简f（x），求出x∈[0，

π

2

]时f（x）的最小值；
（2）由三角函数的单调性，求出f（x）的递增区间．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（sinx，

3

cosx），

b

=（cosx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+

3

cos²x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

；
令t=2x+

π

3

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[

π

3

，

4π

3

]；
f(t)=sin(t)+

3

2

，t∈[

π

3

，

4π

3

]；
当t=

4π

3

时，f（t）有最小值f（t）_min=0，
即当x=

π

2

时，f（x）_min=0；
（2）∵f(x)=sin(2x+

π

3

)+

3

2

，
且-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
∴-

5π

6

+2kπ≤2x≤

π

6

+2kπ，
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ；
∴f（x）的递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈z．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用以及三角恒等变换问题，是综合题．