Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分。
已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:，设过点A的直线l的方向向量。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；
（3）证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。

Answer 1

（1）
（2）
（3）证明见解析。

（1）设双曲线的方程为，
，解得，双曲线的方程为。
（2）直线，直线，
由题意，得，解得。
（3）证法一：设过原点且平行于的直线，
则直线与的距离，当时，，
又双曲线的渐近线为，
 双曲线的右支在直线的右下方，
 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。
证法二：假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，
则
由（1）得
设，
当时，；

将代入（2）得
，

 方程不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。