Question

20．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为两个不同的点，直线l：ax+by+c=0，δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$．有下列命题：
①不论δ为何值，点N都不在直线l上；
②若直线l垂直平分线段MN，则δ=1；
③若δ=-1，则直线l经过线段MN的中点；
④若δ＞1，则点M、N在直线l的同侧且l与线段MN的延长线相交．
其中正确命题的序号是①③④（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 （1）根据δ中的分母不为0，即可判断点N不在直线l上；
（2）δ=1时，分b不等于0和等于0两种情况考虑，当b不为0时，根据δ=1，化简后得到直线MN的斜率与直线l的斜率相等，且点N不在直线l上，进而得到两直线平行；当b为0时，根据δ=1推出直线l与直线MN的斜率都不存在，进而得到两直线平行；
（3）当δ=-1时，化简后得到线段MN的中点满足直线l的解析式，进而得到MN的中点在直线l上；
（4）根据δ大于1，得到ax₁+by₁+c与ax₂+by₂+c同号且|ax₁+by₁+c|大于|ax₂+by₂+c|，进而得到点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交，综合可得答案．

解答 解：①因为δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$中，ax₂+by₂+c≠0，所以点N（x₂，y₂）不在直线l上，本选项正确；
②当b≠0时，根据δ=1，得到δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=1，化简得：$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{b}{a}$，即直线MN的斜率为-$\frac{b}{a}$，
又直线l的斜率为-$\frac{b}{a}$，①知点N不在直线l上，得到直线MN与直线l平行；
当b=0时，根据δ=1，得到δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=1，
化简得：x₁=x₂，直线MN与直线l的斜率不存在，都与y轴平行，
由①）知点N不在直线l上，得到直线MN与直线l平行，
综上，当δ=1，直线MN与直线l平行，本选项错误；
③当δ=-1时，得到δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$=-1，
化简得：a$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+b$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，而线段MN的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$ ），
所以直线l经过MN的中点，本选项正确；
④当δ＞1时，得到 δ=$\frac{a{x}_{1}+b{y}_{1}+c}{a{x}_{2}+b{y}_{2}+c}$＞1，
即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，所以点M、N在直线l的同侧，
且|ax₁+by₁+c|＞|ax₂+by₂+c|，得到点M与点N到直线l的距离不等，所以延长线与直线l相交，本选项正确．
所以命题中正确的序号为：①③④．
故答案为：①③④

点评 此题考查学生掌握一点是否在已知直线上的判别方法，掌握两直线平行时满足的条件，是一道中档题．