Question

8．在（x+$\frac{2}{x}$+1）⁶展开式中的常数项是581（用数值作答）

Answer 1

分析 T_r+1=${∁}_{6}^{r}（x+\frac{2}{x}）^{r}$，（r=0，1，…，6），令$（x+\frac{2}{x}）^{r}$的展开式的通项公式T′_k+1=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}（\frac{2}{x}）^{k}$=2^k${∁}_{r}^{k}$x^r-2k，令r-2k=0，对k，r分类讨论即可得出．

解答 解：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（x+\frac{2}{x}）^{r}$，（r=0，1，…，6），
令$（x+\frac{2}{x}）^{r}$的展开式的通项公式T′_k+1=${∁}_{r}^{k}{x}^{r-k}（\frac{2}{x}）^{k}$=2^k${∁}_{r}^{k}$x^r-2k，
令r-2k=0，k=0，r=0时，可得：T₁=1．
k=1，r=2时，可得：T₃=${∁}_{6}^{2}$$（x+\frac{2}{x}）^{2}$，T′₂=$2{∁}_{2}^{1}$，∴${∁}_{6}^{2}×2{∁}_{2}^{1}$=60．
k=2，r=4时，可得：T₅=${∁}_{6}^{4}$$（x+\frac{2}{x}）^{4}$，T′₃=${2}^{2}{∁}_{4}^{2}$=24，∴${∁}_{6}^{4}$×24=360．
k=3，r=6时，可得：T₇=${∁}_{6}^{6}（x+\frac{2}{x}）^{6}$，T′₄=${2}^{3}{∁}_{6}^{3}$=160，∴${∁}_{6}^{6}$×160=160．
∴（x+$\frac{2}{x}$+1）⁶展开式中的常数项是1+60+360+160=581．
故答案为：581．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．