Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． x±$\sqrt{3}$y=0
• B． $\sqrt{3}$x±y=0
• C． x±2y=0
• D． 2x±y=0

Answer 1

分析 由抛物线y²=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，代入双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），从而得到关于a，b 的方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：由于双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F，且抛物线y²=8x得出其焦点坐标（2，0），
故双曲线的半焦距c=2，又|PF|=5，设P（m，n），
由抛物线的定义知|PF|=m+2，
∴m+2=5，m=3，
∴点P的坐标（3，±$\sqrt{24}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=4}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，
则双曲线的渐近线方程为$\sqrt{3}x±y=0$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a，b的值是解题的关键，是中档题．