Question

18．下列函数中，?a∈R，都有f（a）+f（-a）=1成立的是（　　）

• A． f（x）=ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）
• B． f（x）=cos²（x-$\frac{π}{4}$）
• C． f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$
• D． f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用函数的性质推导出在A、C、D中，f（a）+f（-a）=0；在B中，∴f（a）+f（-a）=1．

解答 解：在A中，∵f（x）=ln（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），
∴f（a）+f（-a）=ln（$\sqrt{1+{a}^{2}}-a$）+ln（$\sqrt{1+{a}^{2}}+a$）
=ln（1+a²-a²）=ln1=0，
故A不成立；
在B中，∵f（x）=cos²（x-$\frac{π}{4}$），
∴f（a）+f（-a）=$co{s}^{2}（a-\frac{π}{4}）+co{s}^{2}（-a-\frac{π}{4}）$
=$co{s}^{2}αco{s}^{2}\frac{π}{4}$+$si{n}^{2}αsi{n}^{2}\frac{π}{4}$+2cos$αcos\frac{π}{4}sinαsin\frac{π}{4}$+$co{s}^{2}αco{s}^{2}\frac{π}{4}$+$si{n}^{2}αsi{n}^{2}\frac{π}{4}$-2cos$αcos\frac{π}{4}sinαsin\frac{π}{4}$
=cos²α+sin²α=1，
故B成立；
在C中，∵f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴f（a）+f（-a）=$\frac{a}{{a}^{2}+1}$-$\frac{a}{{a}^{2}+1}$=0，
∴C不成立；
在D中，∵f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（a）+f（-a）=$\frac{1}{{2}^{a}-1}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{-a}-1}+\frac{1}{2}$=$\frac{1-{2}^{a}}{{2}^{a}-1}$+1=0，
故D不成立．
故选：B．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．