Question

9．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x-1）的实数x的取值范围是（-1，2）．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和条件，通过导函数判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．

解答 解：∵f（x）是奇函数，
∴不等式xf′（x）＜f（-x），等价为xf′（x）＜-f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∵F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即当x∈（-∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，
∵f（x）是奇函数，
∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．
即不等式F（3）＞F（2x-1）等价为F（3）＞F（|2x-1|），
∴|2x-1|＜3，
∴-3＜2x-1＜3，
即-2＜2x＜4，
∴-1＜x＜2，
即实数x的取值范围是（-1，2），
故答案为：（-1，2）．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．