Question

12．若$\frac{-{i}^{2013}}{a+bi}$=$\frac{5}{i-2}$（a，b∈R）．则以a，b为根的一元二次方程为25x²-15x+2=0．．

Answer 1

分析 变形已知式子由复数相等可得ab的方程组，解方程组由韦达定理可得．

解答 解：∵$\frac{-{i}^{2013}}{a+bi}$=$\frac{5}{i-2}$（a，b∈R），
∴$\frac{-i•{i}^{2012}}{a+bi}$=$\frac{5}{i-2}$，∴-i（i-2）=5a+5bi，
∴1+2i=5a+5bi，故1=5a且2=5b，
解得a=$\frac{1}{5}$，b=$\frac{2}{5}$，由韦达定理可得$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$•$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{25}$，
以a，b为根的一元二次方程为x²-$\frac{3}{5}$x+$\frac{2}{25}$=0，
整理为整系数可得25x²-15x+2=0，
故答案为：25x²-15x+2=0．

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，涉及复数相等和韦达定理，属基础题．