Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA=$\sqrt{3}$sinB，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由正弦定理和条件得a=$\sqrt{3}$b，由余弦定理得到cosC，由平方关系求出sinC，根据面积公式化简△ABC的面积S的表达式，利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值．

解答 解：∵sinA=$\sqrt{3}$sinB，∴a=$\sqrt{3}$b，
由余弦定理及c=2得，
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-4}{2ab}$=$\frac{2{b}^{2}-2}{\sqrt{3}{b}^{2}}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-（\frac{2{b}^{2}-2}{\sqrt{3}{b}^{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{-{b}^{4}+8{b}^{2}-4}}{\sqrt{3}{b}^{2}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}{b}^{2}×\frac{\sqrt{-{b}^{4}+8{b}^{2}-4}}{\sqrt{3}{b}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-{b}^{4}+8{b}^{2}-4}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-{（b}^{2}-4）^{2}+12}$
当b²=4时，即b=2，△ABC的面积S有最大值是$\frac{1}{2}×\sqrt{12}$=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及二次函数的最值问题，考查化简、变形能力，属于中档题．