Question

16．在△ABC中，E、F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，则$\frac{BE}{CF}$的取值范围为$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．

Answer 1

分析 设AB=c，AC=b，BC=a，利用中线长定理可得：${c}^{2}+{a}^{2}=2B{E}^{2}+\frac{{b}^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，由于3c=2b．可得$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7}{9}{b}^{2}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{b}{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，利用三角形三边大小关系可得：a＜b+c，且a+c＞b，即可得出．

解答 解：设AB=c，AC=b，BC=a，
∵E、F分别是AC，AB的中点，
∴${c}^{2}+{a}^{2}=2B{E}^{2}+\frac{{b}^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，
∵3AB=2AC，即3c=2b．
∴2BE²=${a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{18}$，
2CF²=a²+$\frac{7}{9}{b}^{2}$．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{{b}^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7}{9}{b}^{2}}$=$\frac{18-（\frac{b}{a}）^{2}}{18+14（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{b}{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，
∵a＜b+c，且a+c＞b，
∴$\frac{b}{a}$＞$\frac{3}{5}$，且$\frac{b}{a}$＜3．
∴$\frac{9}{25}$＜$（\frac{b}{a}）^{2}$＜9．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$∈$（\frac{1}{16}，\frac{49}{64}）$．
∴$\frac{BE}{CF}$∈$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．
故答案为：$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．

点评 本题考查了余弦定理、中线长定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．