Question

11．已知首项都是1的数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）满足$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}-2{b}_{n}}$．
（1）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若{b_n}是由正数组成的等比数列，且6b_n+2+b_n+1=b_n，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}-2{b}_{n}}$，两边取倒数可得$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-2，可得c_n+1-c_n=-2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）设等比数列{b_n}的公比为q＞0，由于6b_n+2+b_n+1=b_n，可得6q²+q-1=0，解得q．可得b_n．可得a_n=（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}-2{b}_{n}}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-2，
∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=-2，
∴数列{c_n}是等差数列，公差为-2，首项为1．
∴c_n=1-2（n-1）=-2n+3．
（2）设等比数列{b_n}的公比为q＞0，
∵6b_n+2+b_n+1=b_n，
∴6q²+q-1=0，
解得q=$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=-2n+3，
∴a_n=（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$1-\frac{1}{3}$-3×$（\frac{1}{3}）^{2}$-…-（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
$\frac{1}{3}$S_n=$\frac{1}{3}-（\frac{1}{3}）^{2}$-3×$（\frac{1}{3}）^{3}$-…-（-2n+5）×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+（-2n+3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=1-$2×[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n-1}]$+（2n-3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$=1-2×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{3}}$+（2n-3）×$（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{2n}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．