Question

6．对于△ABC内部一点，存在实数λ，使得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$）恒成立，则△OBC与△ABC的面积之比是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可作出图形，取AB中点D，AC中点E，并连接OD，OE，从而可以由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$得到$\overrightarrow{OD}=λ\overrightarrow{OE}$，从而得出D，O，E三点共线，从而有DE∥BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$，这样即可得到${S}_{△OAB}+{S}_{△OAC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，从而便可得出△OBC与△ABC的面积的比值．

解答 解：如图，

分别取AB、AC的中点D、E，连接OD，OE，则：
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$；
∴由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$得，$2\overrightarrow{OD}=2λ\overrightarrow{OE}$；
∴$\overrightarrow{OD}=λ\overrightarrow{OE}$；
∴D，O，E三点共线；
∴DE∥BC，$DE=\frac{1}{2}BC$；
∴${S}_{△OAB}+{S}_{△OAC}=\frac{OD+OE}{BC}{S}_{△ABC}$
=$\frac{DE}{BC}{S}_{△ABC}$
=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△OBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴△OBC与△ABC的面积之比是$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，共线向量基本定理，以及三角形中位线的性质，三角形的面积公式．