Question

14．若tanα、tanβ是方程x${\;}^{2}+3\sqrt{3}$x+4=0的两根，且-$\frac{π}{2}＜α$，$β＜\frac{π}{2}$，则α+β=-$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由tanα，tanβ是方程x²+3$\sqrt{3}$x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．

解答 解：依题意得tanα+tanβ=-3$\sqrt{3}$＜0，tanα•tanβ=4＞0，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-3\sqrt{3}}{1-4}$=$\sqrt{3}$．
依题意知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴α∈（-$\frac{π}{2}$，0），β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴α+β∈（-π，0），
∴α+β=-$\frac{2π}{3}$．
故答案为：-$\frac{2π}{3}$

点评 此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．本题的关键是找出α+β的范围．