Question

20．给出下面四个命题：
①已知函数f（x）=2sinx，在区间[0，π]上任取一点x₀，则使得f（x₀）＜1的概率为$\frac{1}{3}$；
②函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数y=cos（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
③命题“?x∈R，x²-x+1＞0”的否定是“?x∈R，x²-x+1＜0”
④若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）+f（2-x）=0，则f（2016）=0．
其中所有正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①根据几何概型的概率公式进行计算．
②根据三角函数的图象平移关系进行判断．
③根据含有量词的命题的否定进行判断．
④根据函数奇偶性和周期性的性质进行判断．

解答 ①已知函数f（x）=2sinx，
由f（x₀）＜1得sinx₀＜$\frac{1}{2}$，
∵x₀∈[0，π]，
∴0≤x₀＜$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$＜x≤π，
则f（x₀）＜1的概率P=$\frac{π-\frac{5π}{6}+\frac{π}{6}}{π}$=$\frac{1}{3}$；故①正确，
②函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到y=sin2（x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=cos（$\frac{π}{2}$-2x-$\frac{2π}{3}$）=cos（-2x-$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；故②正确，
③命题“?x∈R，x²-x+1＞0”的否定是“?x∈R，x²-x+1≤0”故③错误，
④若函数f（x）是定义在R上的奇函数，由f（x+1）+f（2-x）=0，得f（x+1）=-f（2-x）=f（x-2），
即f（x+3）=f（x），则函数的周期是3，
则f（2016）=f（672×3）=f（0）=0．故④正确，
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，一般难度不大．