Question

4．在△ABC中，点D在BC边所在直线上，若$\overrightarrow{CD}$=4$\overrightarrow{BD}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，则2m+n的值等于（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 0

Answer 1

分析 可作出图形，由$\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{BD}$便可得出$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$，带入$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，然后进行向量的数乘运算便可得到$\overrightarrow{CD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$，这样根据平面向量基本定理即可求出m，n，从而便可求出2m+n的值．

解答 解：如图，$\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{BD}$；

∴$\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{BD}$；
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$
=$-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{CD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$；
∴$2m+n=\frac{4}{3}$．
故选：A．

点评 考查向量加法、减法及向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．