Question

3．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+2y-6≥0}\\{mx+y-4≤0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{xy}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$的最小值为$\frac{3}{13}$，则m的值为1或$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 根据分式的性质，利用换元法，结合方程求出k的值，作出不等式组对应的平面区域利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：∵x≥1，∴z=$\frac{xy}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则z=$\frac{k}{1+k+{k}^{2}}$=$\frac{1}{k+\frac{1}{k}+1}$，
若z=$\frac{xy}{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$的最小值为$\frac{3}{13}$，
则等价为k+$\frac{1}{k}$+1的最大值是$\frac{13}{3}$，
即k+$\frac{1}{k}$+1=$\frac{13}{3}$，则k+$\frac{1}{k}$=$\frac{13}{3}$-1=$\frac{10}{3}$，
则k=3或k=$\frac{1}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
若k=$\frac{y}{x}$=3，即y=3x，
作出y=3x，则y=3x与x=1相交时$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（1，3），
此时C在直线mx+y-4=0得m+3-4=0，即m=1，
若k=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{3}$，即y=$\frac{1}{3}$x，
作出y=$\frac{1}{3}$x，则y=$\frac{1}{3}$x与x+2y-6=0相交时$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{x+2y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{18}{5}$，$\frac{6}{5}$），
此时A在直线mx+y-4=0得$\frac{18}{5}$m+$\frac{6}{5}$-4=0，即m=$\frac{7}{9}$，
综上m=1或$\frac{7}{9}$，
故答案为：1或$\frac{7}{9}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用换元法结合分式的性质进行转化，结合数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．