Question

7．设函数f（x）=mx²-mx-6+m．
（1）若对于m∈[-2，2]．f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6为是关于m的一次函数．因此满足对m∈[-2，2]，使f（x）＜0恒成立的x满足不等式g（-2）＜0且g（-2）＜0，由此解关于x的不等式组，即可得到实数x的取值范围．
（2）由题意将不等式整理，得m（x²-x+1）＜6，结合x²-x+1在[1，3]上的取值为正数，将原不等式等价变形为m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$．求出$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，即可算出满足条件的m的取值范围．

解答 解：（1）由题意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6，
则g（m）是关于m的一次函数．
因此若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-2（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\\{g（2）=2（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，
解之得-1＜x＜2，
即实数x的取值范围为（-1，2）；
（2）f（x）＜0即mx²-mx-6+m＜0，可得m（x²-x+1）＜6．
∵当x∈[1，3]时，x²-x+1∈[1，7]，
∴不等式f（x）＜0等价于m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$．
∵当x=3时，$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值为$\frac{6}{7}$，
∴若要不等式m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$恒成立，
则必须m＜$\frac{6}{7}$，
因此，实数m的取值范围为（-∞，$\frac{6}{7}$）．

点评 本题给出两个不等式恒成立的问题，求参数的取值范围．着重考查了一次函数、二次函数的图象与性质和不等式的性质等知识，属于中档题．