Question

19．使方程$\sqrt{8x-{x}^{2}}$-x-m=0有两个不等的实数解，则实数m的取值范围是0≤m＜4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 由$\sqrt{8x-{x}^{2}}$-x-m=0得$\sqrt{8x-{x}^{2}}$=x+m，设y=$\sqrt{8x-{x}^{2}}$和y=x+m，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由$\sqrt{8x-{x}^{2}}$-x-m=0得$\sqrt{8x-{x}^{2}}$=x+m，设y=$\sqrt{8x-{x}^{2}}$和y=x+m，
则8x-x²=y²，
即（x-4）²+y²=16，（y≥0），
作出对应的图象如图：
当直线y=x+m经过点O时，m=0，此时直线和半圆有两个交点，
当直线y=x+m与半圆相切时，（m＞0），
圆心（4，0）到直线的距离d=$\frac{|4+m|}{\sqrt{2}}$=4，
即|m+4|=4$\sqrt{2}$，
解得m=4$\sqrt{2}$-4，或m=-4$\sqrt{2}$-4，（舍），
故方程$\sqrt{8x-{x}^{2}}$-x-m=0有两个不等的实数解，
则0≤m＜4$\sqrt{2}$-4，
故答案为：0≤m＜4$\sqrt{2}$-4

点评 本题主要考查函数和方程的应用，利用条件转化为两个函数之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．