Question

9．已知在△ABC中，A（-2，0），B（0，2），C（cosθ，-1+sinθ）（θ为参数），求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 分别得出直线的方程、圆的普通方程，求出圆心到直线的距离，进而得出圆上的点到直线的最大距离，即可得出三角形面积的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=（-2，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（2，2），
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
直线AB的方程为：$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{2}$=1，化为x-y+2=0．
由C（cosθ，-1+sinθ）（θ为参数），化为（y+1）²+x²=1，
∴圆心C（0，-1）到直线AB的距离d=$\frac{|0+1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴圆上的点到直线的最大距离h=d+r=$\frac{3}{\sqrt{2}}$+1．
∴△ABC面积的最大值S=$\frac{1}{2}$|AB|•h=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（$\frac{3}{\sqrt{2}}$+1）=3+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、圆上的点到直线的最大距离、点到直线的距离公式、三角形面积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．