Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
（1）求（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（λ$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的值．
（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{λ\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）=0$，由此求得λ的值．

解答 解：（1）由题意得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|cos{60°}=1×4×\frac{1}{2}=2$，
∴$（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=2{\overrightarrow a^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}=2+2-16=-12$．
（2）∵$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{λ\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，∴$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{λ\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）=0$，
∴$λ{\overrightarrow a^2}+（{λ-2}）\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{\overrightarrow b^2}=0$，∴λ+2（λ-2）-32=0，
∴λ=12．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．