Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BC，C₁D₁的中点．
（1）求证：EF∥平面D₁DB；
（2）求异面直线EF和BD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，取B₁D₁的中点M，连接MF，MB．利用正方体的性质与三角形中位线定理可得$MF\underset{∥}{=}BE$，
是四边形BEFM是平行四边形，可得EF∥BM，利用线面平行的判定定理即可证明EF∥平面D₁DB．
（2）由（1）可知：∠MBD₁即为异面直线EF和BD₁所成角．在△MBD₁中利用余弦定理即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，取B₁D₁的中点M，连接MF，MB．
∵E，F分别是BC，C₁D₁的中点，
∴$MF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}{B}_{1}{C}_{1}$$\underset{∥}{=}$BE，
∴$MF\underset{∥}{=}BE$，
∴四边形BEFM是平行四边形，
∴EF∥BM，
而EF?平面D₁DB，MB?平面D₁DB；
∴EF∥平面D₁DB．
（2）解：由（1）可知：∠MBD₁即为异面直线EF和BD₁所成角．
不妨设AB=2.$MB=\sqrt{M{B}_{1}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
MD₁=$\sqrt{2}$，$B{D}_{1}=\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴cos∠MBD₁=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴异面直线EF和BD₁所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了正方体的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、异面直线所成的夹角、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．