Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，若点P是椭圆上的动点，GH是圆（x+1）²+y²=1的直径，试求$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$的最大值．

Answer 1

分析 设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由GH是圆的直径，则OG⊥OH，即为x₁x₂+y₁y₂=0．设P（x₃，y₃），求得向量PG，PH的坐标，再由向量的数量积的坐标表示化简整理，结合P在椭圆上，可得$\frac{1}{4}$x₃²+2x₃+3，配方，再由椭圆的范围，即可得到最大值．

解答 解：由题意，圆过原点，设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∵GH是圆的直径，
∴OG⊥OH，即为x₁x₂+y₁y₂=0．
设P（x₃，y₃），
则$\overrightarrow{PG}$=（x₁-x₃，y₁-y₃），$\overrightarrow{PH}$=（x₂-x₃，y₂-y₃），
∴$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$=x₁x₂+y₁y₂-x₃（x₁+x₂）-y₃（y₁+y₂）+x₃²+y₃²；
又GH的中心是（-1，0），
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=0，而$\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{3}$=1，
∴y₃²=3-$\frac{3}{4}$x₃²，
∴$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$=$\frac{1}{4}$x₃²+2x₃+3=$\frac{1}{4}$（x₃+4）²-1，
又∵-2≤x₃≤2，
∴当x₃=2时，$\overrightarrow{PG}$•$\overrightarrow{PH}$取得最大，并且最大值为8．

点评 熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量的数量积、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．