Question

5．如图，设A是单位元和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP=$\frac{π}{6}$，∠POQ=α，α∈（0，π）．
（1）求P点坐标；
（2）若Q（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y）则由题意可得x=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，即可求出点P的坐标．
（2）由Q的坐标求得cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，利用cosα=cos（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$），求cosα的值．

解答 解：（1）设P（x，y），则x=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
所以P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）…（4分）
（2）因为Q（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），所以cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$…（8分）
所以cosα=cos（α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$…（12分）

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角差的余弦公式的应用，属于中档题．