Question

15．国家虽然出台了多次限购令，但各地房地产市场依然热火朝天，主要是利益的驱使，有些开发商不遵守职业道德，违规使用未经淡化的海砂；为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，河海大学实验室随机抽取了60个样本，得到了如表的2×2列联表：

	混凝土耐久性达标	混凝土耐久性不达标	总计
使用淡化海砂	25		30
使用未经淡化的海砂		15
总计

（1）补充完整表中的数据；利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
（2）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？
参考数据：

p（K2≥K）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用2×2列联表中的数据，计算出s，t，k²，对性别与喜爱运动有关的程度进行判断，
（Ⅱ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件共有15种结果，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，它的对立事件$\overline{A}$为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，根据概率公式得到对立事件的概率，最后根据对立事件的概率公式得出结果．

解答 解：（1）如下表所示：

	混凝土耐久性达标	混凝土耐久性不达标	总计
使用淡化海砂	25	5	30
使用未经淡化海砂	15	15	20
总计	40	20	60

假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：
K²=$\frac{60（25×15-15×5）^{2}}{30×30×40×20}$=7.5＞6.635，
因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，
认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．    
（2）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，
其中应抽取“混凝土耐久性达标”为$\frac{25}{30}×6$=5，“混凝土耐久性不达标”的为1，
把“混凝土耐久性达标”的记为A，B，C，D，E，“混凝土耐久性不达标”的记为a，
从这6个样本中任取2个，共有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，Aa，Ba，Ca，Da，Ea，15种可能，
设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A，
它的对立事件$\overline{A}$为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，
包含Aa，Ba，Ca，Da，Ea共5种可能，
∴P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{5}{15}$=$\frac{2}{3}$，
即取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是$\frac{2}{3}$．

点评 本题把概率的求法，列联表，独立性检验等知识有机的结合在一起，是一道综合性题目，但题目难度不大，符合新课标对本部分的要求，是道好题．