Question

6．宁德至福州铁路里程约为100km，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度v（米/分钟）关于时间t（分钟）满足函数关系：v（t）=at³+bt²+ct+d，且v'（0）=v'（2）=0，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶5km至终点（福州站）．
（Ⅰ）求：前2分钟速度v（t）的函数关系式；
（Ⅱ）求动车运行过程中速度的最大值．

Answer 1

分析 （ I）求出v（t）的导数，由条件可得c=d=0，b=-3a，由积分的运算可得a=-950，即可得到v（t）的解析式；
（ II）求得函数v（t）的导数，求得单调区间，求得极值、最值即可得到速度的最大值．

解答 解：（ I）∵v（t）=at³+bt²+ct+d
∴v′（t）=3at²+2bt+c，
又∵v′（0）=v′（2）=0，v（0）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ d=0\\ 12a+4b=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ d=0\\ b=-3a\end{array}\right.$，
∴v（t）=at³-3at²，
v（2）=8a-12a=-4a；
则前2分钟运行的路程为${s_1}=\int_0^2{（a{t^3}-3a{t^2}）dt}=（\frac{{a{t^4}}}{4}-a{t^3}）|_0^2=-4a$．
依题意得：100×1000-5×1000+4a=24•v（2）
即95000+4a=24×（-4a），解得a=-950，
∴v（t）=-950t³+2850t²（0≤t≤2）；                           
（ II）∵v（t）=-950t³+2850t²（0≤t≤2）
∴v′（t）=-950•3t²+2•2850t=-2850t（t-2）≥0，（0≤t≤2）
∴v（t）在[0，2]上为增函数，∴当t=2时，v（t）_max=v（2）=3800米/分钟．
∴动车在行使过程中的最大速度为3800米/分钟．

点评 本题考查运用导数解决实际问题，运用导数求最值问题，考查运算能力，属于中档题．