Question

18．已知f（x）=x³+sinx，若a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值（　　）

• A． 一定大于0
• B． 一定等于0
• C． 一定小于0
• D． 正负都有可能

Answer 1

分析 由函数的解析式求出定义域和函数的奇偶性，由求导公式和法则求出f′（x），判断出f′（x）的符号得到函数的单调性，结合条件列出自变量的不等式，再由函数的奇偶性、单调性转化为函数值的不等式，即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=x³+sinx的定义域是R，且f（-x）=-x³-sinx=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
∵f′（x）=3x²+cosx＞0，∴函数f（x）在R上单调递增，
∵a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，∴a＞-b，c＞-a，b＞-c，
∴f（a）＞f（-b）=-f（b），f（c）＞f（-a）=-f（a），f（b）＞f（-c）=-f（c），
三个不等式相加可得，f（a）+f（c）+f（b）＞-f（b）-f（a）-f（c），
则2f（a）+f（c）+f（b）＞0，即f（a）+f（b）+f（c）＞0，
∴f（a）+f（b）+f（c）的值一定大于零，
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性，导数与函数的单调性关系的应用，以及利用函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小关系，考查转化思想，属于基础题．