Question

3．已知f（x）=|2x-1|+|x+2|
①求不等式f（x）＜2x+3的解集
②对于?a∈R，?x∈R，使得f（x）≤a²+2a+b成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 ①分类讨论，去掉绝对值符号，即可求不等式f（x）＜2x+3的解集
②对于?a∈R，?x∈R，使得f（x）≤a²+2a+b成立，等价于[f（x）]_min≤[a²+2a+b]_min，即可求实数b的取值范围．

解答 解：①x＜-2时，-2x+1-x-2＜2x+3，∴x＞-$\frac{4}{5}$，∴x∈Φ；
-2≤x≤$\frac{1}{2}$时，-2x+1+x+2＜2x+3，∴x＞0，∴x∈（0，$\frac{1}{2}$]；
x＞$\frac{1}{2}$时，2x-1+x+2＜2x+3，∴x＜2，∴x∈（$\frac{1}{2}$，2），
综上，不等式f（x）＜2x+3的解集是（0，2）；
②x＜-2时，y=-3x-1＞5；
-2≤x≤$\frac{1}{2}$时，y=-x+3≥2.5；
x＞$\frac{1}{2}$时，y=3x+1＞2.5，
∴f（x）的最小值为2.5，
∵y=a²+2a+b的最小值为b-1，
∴2.5≤b-1，
∴b≥3.5．

点评 本题主要考查绝对值的意义，一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．