Question

8．已知两个不共线的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，且|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=1，x为正实数．
（1）若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$垂直，求tanθ；
（2）若θ=$\frac{π}{6}$，求|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值及对应的x值，并指出向量$\overrightarrow{a}$与x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的位置关系．

Answer 1

分析 （1）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$），可得（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）=0．展开可得cosθ=$\frac{1}{6}$，又θ∈（0，π），利用sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$即可得出．
（2）利用数量积运算性质可得|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{9（x-\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}+\frac{1}{4}}$，故当x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时，|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值$\frac{1}{2}$，计算$\overrightarrow{a}$•（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）即可得出．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$），∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）=0．
∴$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-8$\overrightarrow{b}$²=0，得3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，
得cosθ=$\frac{1}{6}$，
又θ∈（0，π），故θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
因此，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{35}}{6}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\sqrt{35}$．
（2）|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{x}^{2}-2x\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}-3\sqrt{3}x+1}$=$\sqrt{9（x-\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
故当x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$时，|x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值$\frac{1}{2}$，
此时，$\overrightarrow{a}$•（x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=x$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×9-3×1×cos$\frac{π}{6}$=0，
故向量$\overrightarrow{a}$与x$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．