Question

19．已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，a=3$，（b-a）（sinB+sinA）=（b-c）sinC．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得b²+c²-a²=bc，由余弦定理得cosA，结合范围0＜A＜π，可求A的值，由$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，可求sinC，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可求c，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理可得（b-a）（b+a）=（b-c）c，--------（2分）
即b²+c²-a²=bc，由余弦定理得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$；--------（4分）
因为$cosC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以$sinC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{3+\sqrt{6}}}{6}$．--（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
得$\frac{3}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}$，解得$c=2\sqrt{2}$，--------（9分）
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×3×2\sqrt{2}×\frac{{3+\sqrt{6}}}{6}=\frac{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}{2}$．-----（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．