Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞0\\{2}^{x}，x≤0\end{array}\right.$，则f（f（9））=$\frac{1}{4}$，若f（a）$＞\frac{1}{2}$，则实数a的取值范围是（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由分段函数先求f（9）=-2，再求f（-2）；对a讨论，结合对数函数和指数函数的单调性，最后求并集即可得到所求范围．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞0}\\{{2}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，
即有f（9）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}9$=-2，
f（f（9））=f（-2）=2^-2=$\frac{1}{4}$，
f（a）＞$\frac{1}{2}$即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{{2}^{a}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，
即有0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-1＜a≤0，
即有-1＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$，（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查分段函数的运用：求函数值和解不等式，同时考查指数函数、对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．