Question

5．（1）化简$\frac{{\sqrt{1-2sin{{40}°}cos{{40}°}}}}{{sin{{40}°}-\sqrt{1-{{sin}^2}{{40}°}}}}$；　　　　
（2）求证：$\frac{1+sin2α}{cos2α}=\frac{1+tanα}{1-tanα}$．

Answer 1

分析 （1）原式利用同角三角函数间基本关系及二次根式性质化简，再利用绝对值的代数意义变形，约分即可得到结果；
（2）已知等式左边分子利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式化简，分母利用二倍角的余弦函数公式化简，约分后再利用同角三角函数间基本关系变形，整理得到结果，与右边相等，得证．

解答 解：（1）原式=$\frac{{|{sin40°-cos40°}|}}{{sin40°-|{cos40°}|}}$=$\frac{cos40°-sin40°}{sin40°-cos40°}$=-1；
（2）证明：左=$\frac{{{{（sinα+cosα）}^2}}}{{{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}$=$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=右，
则$\frac{1+sin2α}{cos2α}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．